Question

12．已知：?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，?ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）直接利用菱形性质结合根的判别式求出m的值；
（2）利用AB=2，代入方程求出m的值，进而解方程得出x的值，再利用平行四边形的性质得出答案．

解答 解：（1）∵?ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=b²-4ac=（-m）²-4×1×（$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$）
=m²-2m+1
=（m-1）²=0，
解得：m=1，
即m为1时，?ABCD是菱形；

（2）把AB=2代入方程得：
4-2m+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，
解得：m=$\frac{5}{2}$，
则x²-$\frac{5}{2}$x+1=0，
解得：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=2，
则AD=$\frac{1}{2}$，
故?ABCD的周长是：2×（2+$\frac{1}{2}$）=5．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的性质以及一元二次方程的解法和根的判别式等知识，正确掌握菱形的性质是解题关键．