Question

已知一个二次函数的关系式为 y＝x²-2bx＋c．

（1）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，

①则b、c 应满足关系为                 ；

②若该二次函数的图象经过A（m，n）、B（m +6，n）两点，求n的值；

（2）若该二次函数的图象与x轴有两个交点C（6，0）、D（k，0），线段CD（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为21，求b的取值范围．

Answer 1

（1）（1）①c＝b²；

②解法一：由 ，

得b＝m +3，则c＝（m +3）²

于是，n＝m ²-2（m +3）m＋（m +3）²=9；

解法二：

由题意可知：y＝x²-2bx＋c的图象是由y＝x²的图象沿x轴平移得到的，

∵y＝x²-2bx＋c的图象经过A（m，n）、B（m +6，n）两点，

∴y＝x²的图象经过（-3，n）、（3，n）两点，

     ∴n＝3²=6．

（2）解法一：∵y＝x²-2bx＋c图象与x轴交于C（6，0）

∴36 -12b＋c=0，∴ c=12b -36

∴y＝x²-2bx＋12b -36，令y＝0得x²-2bx＋12b -36＝0

  解得： x₁＝6，x₂＝2b – 6，即k=2b - 6；

∵C、D之间的整数和为21，

∴由8≤k＜9，或-1＜k≤1，

∴8≤2b-6＜9，或-1＜2b-6≤1，

解得7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5.

解法二：∵y＝x²-2bx＋c图象过C（6，0）与D（k，0），

        ∴（x -6）（x – k）=0，整理得x² -（6+ k）x＋6k=0

        ∴6+k=2b ，k=2b - 6；

∵C、D之间的整数和为21，

∴由8≤k＜9，或-1＜k≤1，

∴8≤2b-6＜9，或-1＜2b-6≤1，

解得7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5.  

解法三：∵ =b，∴k=2b – 6

 ∵C、D之间的整数和为21，

∴由8≤k＜9，或-1＜k≤1，

∴8≤2b-6＜9，或-1＜2b-6≤1，

解得7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5.