Question

3．如图，将边长为4的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′．
（1）当两个三角形重叠部分的面积为3时，求移动的距离AA′；
（2）当移动的距离AA′是何值时，重叠部分是菱形．

Answer 1

分析 （1）设AC、A′B′交于点E，DC、A′C′交于点F，且设AA′=x，则A′E=AA′=x，A′D=4-x，列出方程即可解决问题；
（2）当四边形A′ECF是菱形时，A′E=A′F，设AA′=x，则A′E=CF=x，根据A′F²=2A′D²列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）设AC、A′B′交于点E，DC、A′C′交于点F，
且设AA′=x，则A′E=AA′=x，A′D=4-x，
重叠部分的面积为x（4-x）
由x（4-x）=3，
解得x=1或3，
即AA′=1或3．

（2）当四边形A′ECF是菱形时，A′E=A′F，
设AA′=x，则A′E=CF=x，
∴A′F²=2A′D²，
∴x²=2（4-x）²，
∴x=8-4$\sqrt{2}$或8+4$\sqrt{2}$（舍弃），
即当移动的距离是8-4$\sqrt{2}$时，重叠部分是菱形．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的判定和性质、平移的性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．