Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的纵坐标为1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A₁在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B₁
（1）求∠AOM的度数；
（2）点B₁的横坐标为

 

；
（3）求证：AB+BO=AB₁．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,坐标与图形性质,轴对称的性质

专题：

分析：（1）根据轴对称性质得出∠AOM=

1

2

∠AOA₁，求出即可；
（2）过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据点A的纵坐标为1求出AO=2，OC=

3

，BO=2

3

=OB₁，根据∠B₁DO=90°和∠DOB₁=30°求出OD即可；
（3）根据轴对称得出线段AB₁线段A₁B关于直线MN对称，求出AB₁=A₁B，根据A₁B=A₁O+BO和A₁O=AO推出即可．

解答：（1）解：∵点A关于直线MN的对称点A₁在x轴的正半轴上，
∴直线MN垂直平分AA₁，
∴AO=OA₁，
∴∠AOM=

1

2

∠AOA₁=

1

2

×（180°-30°）=75°．

（2）过A作AC⊥x轴于C，过B₁作BD⊥x轴于D，
∵点A的纵坐标为1，
∴AC=1，
∵AB=AO，∠ABO=30°，
∴AO=2，OC=

3

，BO=2

3

=OB₁，
∵∠B₁DO=90°，∠DOB₁=30°，
∴B₁D=

3

，OD=

3

B₁D=3，
故答案为：3；

（3）∵A关于直线MN的对称点A₁在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B₁，
∴线段AB₁线段A₁B关于直线MN对称，
∴AB₁=A₁B，
而A₁B=A₁O+BO，A₁O=AO，
∴AB₁=AO+BO．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称性质，线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，主要考察学生的推理和计算能力．