Question

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切线分别是A，B．CD是⊙O的直径，直线AC，BD相交于点E．
（1）当直径CD绕圆心旋转时，∠E的大小与∠P有关系吗？如果有，找出这个数量关系并说明理由．
（2）如果∠E=30°，PA=6，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）∠P=2∠E；连接OA、OB，先证明∠E=90°-∠BDA，再证明∠AOB=2∠BDA，∠P=180°-∠AOB，即可证出∠P=2∠E．
（2）连接AB，作OF⊥AB于的F，先证明△PAB是等边三角形，得出AB=PA=6，AF=

1

2

AB=3，再求出∠AOF=60°，根据锐角三角函数求出AO即可．

解答：解：（1）有关系，∠P=2∠E；
理由如下：连接OA、OB，如图所示：
∵CD为直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠E=90°-∠BDA，
∵∠BDA与∠BOA对的弧为

AB

，
∴∠AOB=2∠BDA，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∴∠P=180°-2∠BDA=2（90°-∠BDA），
∴∠P=2∠E．
（2）连接AB，作OF⊥AB于的F，如图所示：
∵∠E=30°，
∴∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵PA=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB=PA=6，
∴AF=

1

2

AB=3，
∵∠AOF=

120°

2

=60°，
∴AO=

AF

sin∠AOF

=

3

3 2

=2

3

，
即⊙O的半径为2

3

．

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定以及锐角三角函数的知识；主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．