Question

8．如图，O是等边三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．
（1）图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转互相得到？说明理由；
（2）连接OO′，判断△AOO′的形状．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质得BO=BO′=4，∠OBO′=60°，再由△ABC为等边三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，然后根据旋转的定义可判断△ABO′可由△CBO绕着点B逆时针旋转60得到；
（2）先证明△OBO′等边三角形得到OO′=OB=4，再利用旋转的性质得AO′=CO=5，然后根据勾股定理的逆定理可证明△AOO′是直角三角形．

解答 解：（1）图中△ABO′可由△CBO绕着点B逆时针旋转60得到．理由如下：
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴BO=BO′=4，∠OBO′=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABO′可由△CBO绕着点B逆时针旋转60得到；
（2）△AOO′是直角三角形，理由如下：
∵BO=BO′=4，∠OBO′=60°，
∴△OBO′等边三角形，
∴OO′=OB=4，
∵△ABO′可由△CBO绕着点B逆时针旋转60得到；
∴AO′=CO=5，
在△AOO′中，OA=3，OO′=4，AO′=5，
而3²+4²=5²，
∴AO²+OO′²=AO′²，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．会运用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形．