Question

如图，⊙O的直径AB=4，直线DC与⊙O相交于点D，且∠ADC=∠B=30°．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）延长BA交DC于P点，求tan∠BPD的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据圆周角定理，则∠ADB=90°，由OB=OD，得∠B=∠ODB=30°，从而得出∠ODA=60°，再由已知条件得出∠ODC=90°，即直线CD是⊙O的切线；
（2）可求得∠BPD的度数为30°，再根据特殊角的三角函数值求解即可．

解答：（1）证明：如图，连接OD，
∵直径AB=4，∴∠ADB=90°，
∵OB=OD，∠ADC=∠B=30°，
∴∠B=∠ODB=30°，∴∠ODA=60°，
∴∠ODC=90°，
即直线CD是⊙O的切线；

（2）解：∵直线CD是⊙O的切线，∴∠ODP=90°，
∵∠ADC=30°，∴∠POD=60°，
∴∠BPD=30°，
∴tan∠BPD=

3

3

．

点评：本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．注：直径所对的圆周角等于90°，弦切角等于所夹弧所对的圆周角．