Question

4．周长与面积（数值）相等的直角三角形中，R和r分别表示外接圆与内切圆的半径的长，则（　　）

• A． r是定值
• B． R是定值
• C． $\frac{R}{r}$是定值
• D． R+r是定值

Answer 1

分析 设直角三角形的三边长分别为a、b、c，根据周长和面积相等得a+b+c=$\frac{1}{2}$ab，根据勾股定理得a²+b²=c²，
进行变形得4（a+b+c）=（a+b+c）（a+b-c），则a+b-c=4，由直角三角形外接圆直径是斜边，圆心是斜边的中点，所以直角三角形外接圆半径R=$\frac{1}{2}$c，内切圆的半径r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，从而得出结论：r是定值．

解答 解：设直角三角形的三边长分别为a、b、c，且a＜b＜c，则a²+b²=c²，
由题意得：a+b+c=$\frac{1}{2}$ab，
∴c²=（a+b）²-2ab=（a+b）²-4（a+b+c），
∴4（a+b+c）=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c），
∴a+b-c=4，
直角三角形外接圆半径R=$\frac{1}{2}$c，内切圆的半径r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，
故r是定值，由于R=$\frac{1}{2}$c，所以选项B、C、D都不正确，
故选A．

点评 本题考查了直角三角形的内切圆和外接圆，掌握直角三角形内切圆和外接圆半径计算公式是关键；同时本题还运用了完全平方式和平方差公式对勾股定理得出的等式进行变形，最后发现：周长与面积（数值）相等的直角三角形中，内切圆的半径r是定值．