Question

18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．
（2）解直角三角形求出BC=2．AB=DC=2$\sqrt{3}$，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=$\frac{1}{2}$BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可．

解答 （1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；

（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，
∴BC=2，
∴AB=DC=2$\sqrt{3}$，
连接OE，交CD于点F，

∵四边形ABCD为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S_菱形OCED=$\frac{1}{2}$×OE×CD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．