Question

13．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
（3）在（1）（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）根据两角相等，即∠AFB=∠ADE和∠BAE=∠AED，证明△ABF∽△EAD；
（2）在Rt△ABE中，利用30°的余弦得AE的长；
（3）由相似得：$\frac{BF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，代入可求得BF的长．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C，
∴∠BFE+∠ADE=180°，
∵∠BFE+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠ADE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵BE⊥DC，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴cos∠BAE=cos30°=$\frac{AB}{AE}$，
∴AE=$\frac{AB}{cos30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；
（3）∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，
∴$\frac{BF}{3}=\frac{4}{\frac{8\sqrt{3}}{3}}$，
∴BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题是相似形的综合题，难度适中，考查了三角形相似的判定和性质，在相似的判定中，常运用平行和两角对应相等证明两三角形相似；再求线段的长时，可以利用勾股定理来求，有时也会根据相似得比例式代入求解，也可以利用三角函数列式计算求得．