Question

8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交与点E，与DC交于点F，且DF：CF=3：1，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的长为（　　）

• A． 12$\sqrt{2}$
• B． $\frac{16\sqrt{2}}{3}$
• C． 3$\sqrt{10}$
• D． 8

Answer 1

分析 易证△ADF是等腰三角形，由DG⊥AE可得AG=FG，再由勾股定理可求出FG的长，再根据CF：DF=EF：AF=1：3求出EF，进而可求出AE的长．

解答 解：
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
∵DG⊥AE，
∴AG=FG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=4，AD∥BC，
∵DF：CF=3：1，
∴DF=3，CF=1，
∵DG=1，
∴GF=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AF=2GF=4$\sqrt{3}$，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴CF：DF=EF：AF=1：3，
即EF：4$\sqrt{3}$=1：3，
∴EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=AF+EF=4$\sqrt{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
故选B．

点评 此题考查了平行四边形的性，相似三角形的判断和性质以及勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．