Question

【题目】如图，在四边形中，，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，且.

（1）求证：；

（2）连接，且平分交于点.求证：是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据ASA证明ΔABF≌ΔBCE即可；

（2）根据直角三角形两锐角互余、角平分线的性质以及余角的性质可得∠DBC=∠BDE，根据等角对等边即可得到BC=CD，从而得到结论．

（1）∵BE⊥CD，AF⊥BE，

∴∠BEC=∠AFB=90°，

∴∠ABE+∠BAF=90°．

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠EBC=90°，

∴∠BAF=∠EBC．

在ΔABF和ΔBCE中，

∵∠AFB=∠BEC，AF=BE，∠BAF=∠EBC，

∴ΔABF≌ΔBCE．

（2）∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠DBC=90°．

∵∠BED=90°，

∴∠DBE+∠BDE=90°．

∵BD分∠ABE，

∴∠ABD=∠DBE，

∴∠DBC=∠BDE，

∴BC=CD，

即ΔBCD是等腰三角形．