Question

在平面直角坐标系xOy中，射线l：y=

3

x(x≥0)．点A是第一象限内一定点，OA=4

3

，射线OA与射线l的夹角为30°．射线l上有一动点P从点O出发，以每秒2

3

个单位长度的速度沿射线l匀速运动，同时x轴上有一动点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示PQ的长．
（2）若当P、Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值．
（3）定义M抛物线：顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”．若当P、Q运动t秒时，将△PQA绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据射线l解析式为y=

3

x(x≥0)得到∠POQ=60°，利用P，Q运动速度相同，得到OP=OQ=2

3

t，然后利用△OPQ是等边三角形表示出PQ=2

3

t；
（2）首先根据题意表示出A（6，2

3

），P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），然后过点A作AB⊥x轴于B，得到AB=2

3

在Rt△ABQ中，∠ABQ=90°，∠AQB=60°，从而求得BQ，求得OQ的长即可求得时间；
（3）首先由抛物线的对称性得到抛物线经过P、Q、O三点P(

3

t，3t)，Q(2

3

t，0)，O（0，0），设：抛物线M的解析式为y=ax(x-2

3

t)；将P(

3

t，3t)代入可得a=-

1

t

从而确定抛物线的解析式为：y=-

1

t

x2+2

3

x，然后根据对称轴四边形PAQA′是平行四边形，例用P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），A（6，2

3

），得到A′（3

3

t-6，3t-2

3

），代入抛物线y=-

1

t

x²+2

3

x即可求得时间t．

解答：解：（1）∵射线l解析式为y=

3

x(x≥0)，
∴∠POQ=60°．
∵P，Q运动速度相同，
∴OP=OQ=2

3

t，
∴△OPQ是等边三角形，
∴PQ=2

3

t；

（2）由题意：A（6，2

3

），P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），
过点A作AB⊥x轴于B，如图1，
则AB=2

3

，
∵在Rt△ABQ中，∠ABQ=90°，∠AQB=60°，
∴BQ=

AB

3

=2，

∴OQ=OB+BQ=8，
∴t=

OQ

2 3

=

4

3

3

秒；

（3）由抛物线的对称性知：抛物线经过P、Q、O三点P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），O（0，0），如图2，
不妨设：抛物线M的解析式为y=ax（x-2

3

t），
将P（

3

t，3t）代入可得a=-

1

t

，
得到抛物线的解析式为：y=-

1

t

x²+2

3

x，
显然：△PQA绕PQ中点旋转180°后，三个对应顶点在抛物线上，
设A的对应点为A′，如图3，
得到四边形PAQA′是平行四边形，
∵P（

3

t，3t），Q（2

3

t，0），A（6，2

3

），
∴A′（3

3

t-6，3t-2

3

），
将A′（3

3

t-6，3t-2

3

），代入抛物线y=-

1

t

x²+2

3

x，
解得t=

2

3

3

或t=

3

2

3

，
∴当经过t=

2

3

3

秒或t=

3

2

3

秒时，△PQA绕PQ中点旋转180°后，三个对应顶点在“M抛物线”上．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了动点问题，并且与几何知识联系起来，难度较大．