Question

如图，已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，BD⊥CD于点D，且BC平分∠DBA．
（1）判断CD与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若半圆O的半径为4，BD=5，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先连接OC，由OB=OC，BC平分∠DBA，易证得OC∥BD，又由BD⊥CD，即可证得结论；
（2）首先连接AC，易证得△ABC∽△CBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答：解：（1）CD与半圆O相切．
理由：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠1=∠1，
∵BC平分∠DBA，
∴∠2=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C是半圆O上的一点，
∴CD与半圆O相切．

（2）连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDB，
∵∠2=∠3，
∴△ABC∽△CBD，
∴

BC

AB

=

BD

BC

，
即BC²=AB•BD=8×5=40，
∴BC=2

10

．

点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．