Question

13．如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结BC₁，若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x．
（1）若点O与点C₁重合，求证：A₁D₁为⊙O的切线；
（2）①当x=1时，四边形ABC₁D₁是菱形；
②当x=2时，△BDD₁为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，从而证出结论；
（2）①根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C₁在AC中点时四边形ABC₁D₁是菱形；
②当x=2时，点C₁与点A重合，可求得BD=DD₁=BD₁=2，从而可判断△BDD₁为等边三角形．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁D₁O=∠D=90°，
∴A₁D₁⊥OD₁，
∴A₁D₁为⊙O的切线；

（2）当x=1时，四边形ABC₁D₁是菱形；
理由：∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，∴AB=AC₁，
∴△AC₁B是等边三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥D₁C₁，
∴四边形ABC₁D₁是菱形；
②如图所示：当x=2时，△BDD₁为等边三角形，

则可得BD=DD₁=BD₁=2，
即当x=2时，△BDD₁为等边三角形．
故答案为：1，2．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．