Question

18．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，且PA=PD，⊙O为△APD的外接圆，若AC=8，sin∠DAC=$\frac{1}{2}$，则⊙的半径为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 连结BD交AC于点F，连接OA、OP，OP交AD于E，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，解直角三角形求出DF，根据垂径定理求出AE=DE，OP⊥AD，解直角三角形求出PE，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可．

解答 解：连结BD交AC于点F，连接OA、OP，OP交AD于E，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DB与AC互相垂直平分，
∵AC=8，sin∠DAC=$\frac{1}{2}$，
∴AF=4，sin∠DAC=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：（2DF）²-4²=DF²，
∴DF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵AP=PD，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{PD}$，
∵OP为半径，
∴AE=DE，OP⊥AD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△PAE中，sin∠1=$\frac{PE}{AP}$=$\frac{1}{2}$，
∴PE=$\frac{4}{3}$，
设⊙O的半径为R，则OE=R-$\frac{4}{3}$，OA=R，
在Rt△OAE中，∵OA²=OE²+AE²，
∴R²=（R-$\frac{4}{3}$）²+（ $\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²，
∴R=$\frac{8}{3}$，
即⊙O的半径$\frac{8}{3}$，
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，菱形的性质和锐角三角函数以及勾股定理的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．