Question

9．如图，直线AB的解析式为y=-2x+4，D（0，-2），CD⊥AB交x轴于C点．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线y=kx（k＜0）上有一点E，∠EAO=∠BAO，BF∥AE交直线y=kx于F，求$\frac{AE+BF}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得直线CD的解析式；
（2）延长BF交y轴于点G，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质即可证得AB=BG，然后证明△AOE≌△GOF，得到AE=GF，据此即可求解．

解答 解：（1）设直线CD的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+b，
把（0，-2）代入得b=-2，
则直线CD的解析式是y=$\frac{1}{2}$x-2；
（2）延长BF交y轴于点G．
∵AE∥BF，
∴∠EAO=∠AGB，
又∵∠EAO=∠BAO，
∴∠BAO=∠AGB，
∴AB=BG，
又∵BO⊥AG，
∴AO=GO，
在△AOE和△GOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠OGF}\\{AO=GO}\\{∠AOE=∠GOF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△GOF，
∴AE=GF，
∴AE+BF=BF+GF，
又∵BF=AB，
∴$\frac{AE+BF}{AB}$=1．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明AE=FG是本题的关键．