Question

4．已知关于x的一元二次方程x²+2（a-1）x+（a²-a）=0，其中a＜0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一腰AB长为6，另两边AC，BC的长分别是这两个方程两个不相等的实数根，求等腰△ABC的周长；
（3）若此方程的两根恰好为菱形两条对角线的长，且菱形面积为21，请直接写出a的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得△，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用解方程得方程的解，分别让一个根为6，求得a的数值，得出方程的根，利用三角形的三边关系判定求得△ABC的周长；
（3）利用菱形的面积等于两条对角线的长的一半建立关于a的方程求得答案即可．

解答 （1）证明：△=[2（a-1）]²-4（a²-a）=-4a+4，
∵a＜0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x²+2（a-1）x+（a²-a）=0，
解得：x₁=1-a+$\sqrt{1-a}$，x₂=1-a-$\sqrt{1-a}$，
∵等腰△ABC的一腰AB长为6，另两边AC，BC的长分别是这两个方程两个不相等的实数根，
∴当1-a+$\sqrt{1-a}$=6，解得a=-3或-8，则1-a-$\sqrt{1-a}$=2，
∴等腰△ABC的周长=6+6+2=14；
（3）∵由根与系数的关系可知两根的积为（a²-a），
∴$\frac{1}{2}$（a²-a）=21
解得：a=7（不合题意，舍去）或a=-6，
因此a的值是-6．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，掌握解方程的方法，根的判别式，根与系数的关系以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．