Question

18．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC，BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6cm，BC=4cm，ED=2cm，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，先根据切线的性质得OC⊥XY，由于BD∥XY，则OC⊥BD，则利用垂径定理可得$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，接着根据圆周角定理得∠1=∠2，且∠3=∠4，于是可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；
（2）由$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$得BC=CD=4，再由∠5=∠2，∠4公共可判断△CDE∽△CAD，利用相似比可计算出CE=$\frac{8}{3}$，然后计算AC-CE即可得到AE的长．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵直线XY切⊙O于点C，
∴OC⊥XY，
∵BD∥XY，
∴OC⊥BD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AB=AC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD；
（2）解：∵AB=AC，
∴AC=6，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴BC=CD=4，∠5=∠2，
而∠4公共，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$，即$\frac{4}{6}$=$\frac{CE}{4}$，解得CE=$\frac{8}{3}$，
∴AE=AC-CE=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$（cm）．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质和三角形相似的判定与性质．