Question

已知，如图，在?ABCD中，M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的点，且AM=CP，BN=DQ，求证：MN∥QP．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，BC=AD，对角相等可得∠A=∠C，然后求出AQ=CN，再利用“边角边”证明△AMQ和△CPN全等，根据全等三角形对应边相等可得MQ=PN，同理可证MN=PQ，然后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形MNPQ是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行证明即可．

解答：证明：在?ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠A=∠C，
∵BN=DQ，
∴AD-DQ=BC-BN，
即AQ=CN，
在△AMQ和△CPN中，

AM=CP ∠A=∠C AQ=CN

，
∴△AMQ≌△CPN（SAS），
∴MQ=PN，
同理可证MN=PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴MN∥QP．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键，难点在于求出三角形全等的对应边相等．