Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=α，弦BC=sinα，试探究⊙O的半径的值．

Answer 1

分析：连接OB、OC，作OD⊥BC，垂足为D．根据圆周角定理求得∠BOC=2α，所以由三角形函数的定义求得BD与BC的数量关系，然后欲求⊙O的半径的值，将问题转化到Rt△OBD中进行求解即可．

解答：解：连接OB、OC，作OD⊥BC，垂足为D（如图）（1分）
∵∠BAC=α，
∴∠BOC=2α（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）（3分）
∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

sinα（5分）
在Rt△OBD中，sin∠BOD=

BD

OB

，∠BOD=

1

2

∠BOC=α．
∴OB=

BD

sin∠BOD

=

1 2 sinα

sinα

=

1

2

，即为所求．（9分）

点评：此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、垂径定理以及解直角三角形等知识，正确地构造出直角三角形是解题的关键．