Question

6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，则$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 连接OB、OE，过点O作OH⊥AE，OG⊥AB，可得到△OBG为等腰直角三角形，△OEH为含30°的直角三角形，设⊙O的半径为r，可求得BG=OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，HE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，OH=$\frac{1}{2}$r，于是可求得三角形和正方形的面积，最后可求得它们的面积比．

解答 解：如图所示：连接OB、OE，过点O作OH⊥AE，OG⊥AB．

设⊙O的半径为r．
∵ABCD为⊙O的内接正方形，
∴GO=BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r．
∴正方形ABCD的面积=8×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$r×$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=2r²．
∵△AEF为⊙的内接正三角形，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，OH=$\frac{1}{2}$r．
∴△AEF的面积=6×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$r×$\frac{1}{2}$r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$r²．
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查的是正多边形和圆，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．