Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的一点，以OB为半径的⊙O与边AC相切于点E，与AB和BC交于点D、H．连接EH、DE，延长DE，BC交于点F．
求证：DE=EH=EF．

Answer 1

分析 连接OE，BE．由△ODE∽△BDF，推出$\frac{DO}{DB}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，推出DE=EF，再证明BE垂直平分DF，推出BD=BF，∠BDF=∠BFD，由四边形BDEH是⊙O的内接四边形，推出∠EHF=∠BDF，推出∠EHF=∠BFD，推出EH=EF，由此即可证明．

解答 解：连接OE，BE．

∵CA是⊙O的切线，
∴∠OEA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠DOE=∠DBF，∠DEO=∠DFB，
∴△ODE∽△BDF，
∴$\frac{DO}{DB}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=EF，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴BE垂直平分DF，
∴BD=BF，
∴∠BDF=∠BFD，
∵四边形BDEH是⊙O的内接四边形，
∴∠EHF=∠BDF，
∠EHF=∠BFD，
∴EH=EF，
∴DE=EH=EF．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．也可以，连接DH，利用直角三角形斜边中线的性质也可以证明