Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，E是AC边上一点，延长BA至D，使AD=AE，
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若∠CBE=30°，求∠ADC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明．
（2）首先求出∠AEC=75°，再根据全等三角形的对应角相等，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD．

（2）在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=45°，
∵∠CBE=30°
∴∠ABE=45°-30°=15°，
∵△ABE是直角三角形，∠BAE=90°，
∴∠BEA=90°-15°=75°，
∵∠△ABE≌△ACD．
∴∠ADC=∠BEA=75°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．