Question

如图，⊙O的直径AC=13，弦BC=12．过点A作直线MN，使∠BAM=

1

2

∠AOB．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）延长CB交MN于点D，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）证MN⊥AC即可．由AC是直径得∠ABC=90°，从而有∠C+∠BAC=90°；因∠BAM=

1

2

∠AOB=∠C，所以∠BAM+∠BAC=90°，得证；
（2）根据勾股定理可求AB的长．由tanC=

AB

BC

=

AD

AC

可求AD．

解答：（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°．
∵∠BAM=

1

2

∠AOB=∠C，
∴∠BAM+∠BAC=90°，即∠CAM=90°．
∴MN是⊙O的切线．

（2）解：∵∠ABC=90°，AC=13，BC=12，
∴AB=5．
∵tanC=

AB

BC

=

AD

AC

，
∴

5

12

=

AD

13

，
∴AD=

65

12

．

点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，难度中等．