Question

【题目】在平面直角坐标系中，如果等边三角形的一边与轴平行或在轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形．

（1）已知，，若是水平正三角形，则点坐标的是_____（只填序号）；①，②，③，④

（2）已知点，，，以这三个点中的两个点及平面内的另一个点为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是　 ，并求出此时点的坐标；

（3）已知的半径为，点是上一点，点是直线上一点，若某个水平正三角形的两个顶点为，，直接写出点的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点坐标的是②，④；（2）或；（3）点的横坐标的取值范围为或或．

【解析】

（1）利用勾股定理求出的长，即可知道的坐标；

（2）因为是一个水平正三角形，则这两个点是，，连接，所以与轴正方向夹角为，然后分①当点在线段的左侧时和②当点在线段的右侧时两种情况讨论；

（3）分三种情况：①当与轴平行或重合时；②当与轴的负半轴夹角为时；③当与轴的正半轴夹角为时；根据水平正三角形的性质求出点的横坐标的取值范围即可．

（1）∵，，

∴，，

∴，

当点在轴上方时，，

当点在轴下方时，，

则点坐标的是②，④；

（2）因为是一个水平正三角形，则这两个点是，，连接，如图1所示：

∴与轴正方向夹角为．

①当点在线段的左侧时，

点与点关于轴对称，

∴，

②当点在线段的右侧时，

点在轴上且，

∴．

∴或；

（3）分三种情况：

①当与轴平行或重合时，如图2所示：

为的直径，直线与坐标轴的交点分别为、，

则，，，

作轴交直线于，作轴交直线于，

则在线段上，，

∴，

同理：，

∴；

②当与轴的负半轴夹角为时，如图3所示：

作直线于，作直径，作、，分别交于、，

作于，作于，

则在线段上，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

同理：，

∴；

③当与轴的正半轴夹角为时，如图4所示：

同②得：．

综上所述，点的横坐标的取值范围为或或．