Question

【题目】如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE上AD，交BD的延长线于点E.

（1）求证：∠E＝∠C；

（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；

（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）cos∠ABC的值为2∶3；（3）∠ABC＝30°或∠ABC＝45°，的值或

【解析】

（1）由AE⊥AD，得到∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE，再由AD平分∠BAC，得到∠ABD∠BAC，即可解答

（2）延长AD交BC于点F，得出，再利用三角函数即可即可

（3）根据题意得出∠ABC＝∠E＝∠C，继而可得∠ABC＝30°，，∠ABC＝45°，，即可解答

证明：∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD∠BAC，同理∠ABD∠BAC

又∵∠ADE＝∠BAD＋∠ABD，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C，

∴∠ADE（∠BAC＋∠BAC）（180°－∠C）.

∴∠E＝90°－（180°－∠C）∠C

解：延长AD交BC于点F.

∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠E.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠E.

∴AE∥ BC.

∴∠AFB＝∠FAE＝90°，

又∵BD∶DE＝2∶3

∴cos∠ABC＝

∴cos∠ABC的值为2∶3.

（3）解：△ABC与△ADE相似，且∠DAE＝90°，

∴△ABC中必有一个内角等于90°.

∵ABC是锐角，

∴∠ABC≠90°.

若∠BAC＝∠DAE＝90°，

∵∠E＝∠C,∴∠ABC＝∠E＝∠C

∵∠ABC＋∠C＝90°，∴∠ABC＝30°.这时

综上所述，∠ABC＝30°或∠ABC＝45°，的值或