Question

如图，BD是⊙O的切线，AB是⊙O的弦，且OA⊥OD．
（1）求证：BD=CD；
（2）当OC=1，BD=4时，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OB，根据切线的性质和利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，进而可证明BD=CD；
（2）过D作DE垂直于BC于E，利用三线合一得到E为BC中点，根据对顶角相等以及一对直角相等得到三角形AOC与三角形CDE相似，由相似得比例，根据CD，AC与OC的长，即可求出BC的长．

解答：（1）证明：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD=∠AOD=90°，
∴∠ACO+∠AC=∠OBA+∠CBD，
∵OA=OB，∠ACO=∠DCB，
∴∠OAC=∠OBA，
∴∠DBC=∠ACO=∠DCB，
∴CD=DB；
（2）过D作DE垂直于BC于E，
∵OC=1，CD=BD=4，
∴OD=5，
∴OB=

52-42

=3，
∴OA=OB=3，
∴AC=

32+12

=

10

，
∵∠ACO=∠DCE，∠AOC=∠DEO=90°
∴△AOC∽△DEC，
∴

AC

CD

=

OC

EC

，
∴EC=

2

5

10

，
∴BC=

4

5

10

．

点评：考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．