Question

9．若△ABC三边的长分别为$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$、$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$（m＞0，n＞0．且m≠n）．试运用构图法求出这三角形的面积．

Answer 1

分析 由题意得出此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出结果．

解答 解：由勾股定理得：$\sqrt{{m}^{2}+（4n）^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$，$\sqrt{（3m）^{2}+（2n）^{2}}$=$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$，$\sqrt{（2m）^{2}+（2n）^{2}}$=2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
构造△ABC所示，
S_△ABC=3m×4n-$\frac{1}{2}$×m×4n-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×2m×2n=5mn．

点评 本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．