Question

9．在正方形ABCD中，BD=BE，CE∥BD，BE交CD于F，则∠DFE=75°．

Answer 1

分析 把△BCE逆时针旋转90°得到△ABG，连接DG、AC、AG．则∠GBE=90°，∠BAG=∠BCE；先证明G、A、C在一条直线上，得出∠DAG=∠BAG，由SAS证明△AGB≌△AGD，得出BG=DG=BE=BD，△BGD为等边三角形，得出∠GBD=60°，求出∠DBE，再由三角形的外角性质即可得出结果．

解答 解：如图所示，把△BCE逆时针旋转90°得到△ABG，连接DG、AC、AG．
则∠GBE=90°，∠BAG=∠BCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=AD，∠BAC=∠DAC=∠BDC=45°，
∴∠BCE=90°+45°=135°，
∵∠BAG=∠BCE=135°，
∴∠BAG+∠BAC=180°，
∴G、A、C在一条直线上，
∴∠DAG=180°-45°=135°=∠BAG，
在△AGB与△AGD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAG=∠DAG}&{\;}\\{AG=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AGD（SAS），
∴BG=DG=BE=BD，
∴△BGD为等边三角形，
∴∠GBD=60°，
∴∠DBE=90°-60°=30°，
∴∠DFE=∠DBE+∠BDC=30°+45°=75°；
故答案为：75°．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三点共线；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．