Question

4．已知点P坐标是（4，0），点Q坐标是（6，2），在直线y=x上找一点M，使得△QMP的周长最小．则点M的坐标为（3，3）．

Answer 1

分析 作点P′与点P关于y=x对称，连接P′Q，求得直线P′Q与y=x的交点坐标即可求得点M的坐标．

解答 解：作点P′与点P关于直线y=x对称，

∵点P′与点P关于直线y=x对称
∴点P′的坐标为（0，4）．
连接P′Q交直线y=x与点M，由轴对称的性质可知：P′M=PM，
∴△MPQ的周长=PQ+QM+PM=PQ+P′Q．
当点P′、M、Q在一条直线上时，三角形的周长有最小值．
设直线P′Q的解析式为y=kx+b，将P′、Q的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直线P′Q的解析式为y=-$\frac{1}{3}x+4$．
将y=-$\frac{1}{3}x+4$与y=x联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+4}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
∴点M的坐标为（3，3）．
故答案为：（3，3）．

点评 本题主要考查的是轴对称-路径最短、待定系数法求函数的解析式、解二元一次方程组，明确当点P′、M、Q在一条直线上时，三角形的周长有最小值是解题的关键．