Question

11．如图，已知顶点为C的抛物线y=ax²-4ax+c与y轴交于点A（0，-3），与x轴两个交点之间的距离为8，点B是抛物线上的点，且满足AB∥x轴，BD⊥x轴于D．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在抛物线上确定一点F，使直线EF将四边形ABDO的面积两等分，求出点F的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出c的值，进而求出抛物线的对称轴，最后利用抛物线与x轴的两交点间的距离求出交点坐标，最后用待定系数法即可；
（2）先判断出EF必过矩形ABDO的对角线的交点，进而求出直线EF的解析式，联立抛物线的解析式即可得出点F的坐标；
（3）先判断出∠AOC=∠CAF，再分两种情况利用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线与y轴的交点C（0，-3），
∴c=-3，
∵抛物线的解析式为y=ax²-4ax-3，
∴此抛物线的对称轴为x=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∵抛物线与x轴的两交点之间的距离为8，
抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0）和（6，0），
将（-2，0）代入抛物线y=ax²-4ax-3中，得，0=4a+8a-3，
∴a=$\frac{3}{12}$=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x-3，

（2）∵A（0，-3），且AB∥x轴，
∴B（4，-3），
∴OB的中点坐标为（2，-$\frac{3}{2}$），由（1）知，E（-2，0），
易得，四边形ABDO是矩形，
∵直线EF将矩形ABDO面积两等分，
∴EF必过矩形OB的中点（2，-$\frac{3}{2}$），
∵E（-2，0），
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{3}{8}$x-$\frac{3}{4}$①，
∵抛物线的解析式y=$\frac{1}{4}$x²-x-3②，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=-\frac{39}{16}}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{9}{2}$，-$\frac{39}{16}$）；

（3）如图，
由（1）抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-x-3，
∴C（2，-4），
∴直线OC的解析式为y=-2x，
记OC与AB的交点为G，
∴G（$\frac{3}{2}$，-3），
在Rt△AOG中，tan∠AOC=$\frac{AG}{OA}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$
过点C作CF⊥AB于F，
∴AF=2，CH=1，
在Rt△ACF中，tan∠CAF=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOC=∠CAF，
设P（m，-3）（0＜m≤4），
∵A（0，-3），C（2，-4），
∴OA=3，OC=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{5}$，AP=m，
∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似，且∠AOC=CAF，
∴①当△AOC∽△CAP时，
∴$\frac{OA}{AC}=\frac{OC}{AP}$，
∴$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{m}$，
∴m=$\frac{10}{3}$，
∴P（$\frac{10}{3}$，-3），
②当△AOC∽△PAC时，
∴$\frac{OA}{AP}=\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{3}{m}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，-3）；
即：满足条件的点P的坐标为（$\frac{10}{3}$，-3）或（$\frac{3}{2}$，-3）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标，锐角三角函数，矩形的判定和性质，相似三角形的性质，解（1）的关键是求出抛物线和x轴的交点坐标，解（2）的关键是判断出EF必过矩形ABDO的对角线的交点，解（3）的关键是判断出∠AOC=∠CAF，属于中考常考题．