Question

如图，AB是⊙O的直径，P点在AB的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠PCE=2∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=2：1，PB=6，求弦CD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由∠PCE=2∠BDC推出∠PCE=∠COD，即可推出OC⊥PC，即可推出结论；
（2）由CD⊥AB，OC⊥CP可推出OC²=OP•OE，由因为AE：EB=2：1，PB=6，推出OE=1，OC=3，根据勾股定理即可推出ED的长度，即可推出CD的长度．

解答：（1）证明：连接OC，
∵∠PCE=2∠BDC，
∴∠PCE=∠COB，
∵CD⊥AB，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：∵AE：EB=2：1，
∵CD⊥AB，OC⊥CP，
∴OC²=OP•OE，
设EB=x，则AE=2x，OE=

x

2

，OC=

3x

2

，
∴（

3x

2

）²=（

3x

2

+6）•

x

2

解方程得：x₁=0（舍去），x₂=2，
∴OE=1，OC=3，
∴CE=

OC2-OE2

=2

2

，
∴CD=2CE=4

2

．

点评：本题主要考查圆周角定理、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，关键在于求出∠PCE=∠COD，OC²=OP•OE．