Question

7．⊙O的半径为1，弦AB=$\sqrt{2}$，弦AC=$\sqrt{3}$，则∠BAC度数为75°或15°．

Answer 1

分析 连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．

解答 解：有两种情况：
①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
cos∠OAE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos∠OAF=$\frac{AF}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；
②如图2所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
cos∠OAE═$\frac{AE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos∠OAF=$\frac{AF}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=45°-30°=15°；
故答案为：75°或15°．

点评 本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．此题比较好，但是一道比较容易出错的题目．