Question

16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x²-14x+48=0的两个根（AC＜BC）．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）直接写出点C的坐标，C（0，4.8）；当t=2.5秒时，动点M、N相遇；
（2）若点E在坐标轴上，平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标若不存在，请说明理由．
（3）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式以及自变量范围．

Answer 1

分析 （1）先求出AC、BC、AB、再根据$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•CO•AB求出OC即可解决问题．
（2）存在，如图1中，分两种情形讨论①当BC为对角线时，∵②当BC为边时，点E′在x轴上时或点E″在y轴上时，分别求出点F坐标即可．
（3）分三种情况求函数解析式，①0＜t≤$\frac{7}{5}$，②$\frac{7}{5}$＜t＜$\frac{5}{2}$③$\frac{5}{2}$＜t≤$\frac{10}{3}$先表示出MN，用相似借助OC，用时间表示出PG，面积即可确定．

解答 解：（1）∵AC、BC的长分别是一元二次方程x²-14x+48=0的两个根（AC＜BC）．
∴AC=6，BC=8，
∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•CO•AB，
∴CO=4.8，
∴点C坐标（0，4.8），
设t秒后相遇，由题意（1+3）t=10，
∴t=2.5．
故答案分别为（0，4.8），=2.5．

（2）存在，如图1中，

①当BC为对角线时，∵OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-4．{8}^{2}}$=6.4，OA=3.6，
∴点F坐标（6.4，4.8）．
②当BC为边时，点E′在x轴上时，点F坐标（2.8，-4.8）；点E″在y轴上时，E″（0，-$\frac{128}{15}$），F″（-6.4，-$\frac{56}{15}$）．
综上所述点F坐标为（6.4，4，8）或（2.8，-4.8）或（-6.4，-$\frac{56}{15}$）．

（3）①如图2中，0＜t≤$\frac{7}{5}$时，

∵PG∥CO，
∴$\frac{PG}{CO}$=$\frac{BG}{OB}$，
∴PG=$\frac{3}{4}$（t+5），
∴S=$\frac{1}{2}$•PG•MN=$\frac{3}{8}$（t+5）（10-4t）=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{15}{4}$t+$\frac{75}{4}$．
②如图3中，$\frac{7}{5}$＜t＜$\frac{5}{2}$时，

∵PG∥CO，
∴$\frac{PG}{CO}$=$\frac{AG}{AO}$，
∴PG=$\frac{4}{3}$（5-t），
∴S=$\frac{2}{3}$（5-t）（10-4t）=$\frac{8}{3}$t²-20t+$\frac{100}{3}$．

③如图4中，$\frac{5}{2}$＜t≤$\frac{10}{3}$时，

S=$\frac{1}{2}$•MN•PG=$\frac{1}{2}$•（4t-10）•$\frac{4}{3}$（5-t）=-$\frac{8}{3}$t²+20t-$\frac{100}{3}$，
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{t}^{2}-\frac{15}{4}t+\frac{75}{4}}&{（0＜t≤\frac{7}{5}）}\\{\frac{8}{3}{t}^{2}-20t+\frac{100}{3}}&{（\frac{7}{5}＜t＜\frac{5}{2}）}\\{-\frac{8}{3}{t}^{2}+20t-\frac{100}{3}}&{（\frac{5}{2}＜t≤\frac{10}{3}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，确定分段函数的自变量取值范围是难点，需要画好图形结合图形解决问题，属于中考压轴题．