Question

若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与x轴、y轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．
（1）如图1，求的伴圆的圆心P的坐标及半径r；
（2）如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数y=ax²+bx+c的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；
（3）如图3，求一次函数的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．

Answer 1

解：（1）在一、三象限内，到x轴、y轴距离相等的点在y=x上，y=x与在第一象限的交点坐标．
∴，解得：，，
同理伴圆在第三象限时，；

（2）y=-（x-1）²，y=（x-1）²+2的伴圆均为⊙P，
y=a（x-1）²，（a＜0）；
y=a（x-1）²+2，（a＞0）的伴圆也都是⊙P；

（3）
∵x=0时，y=3；y=0时，x=4，
∴OA=3，OB=4，AB=5．
①∵，
∴，
解得：r₁=1，∴P₁（1，1）；
②∵，
∴，
解得：r₂=3，∴P₂（3，-3）；
③∵，
∴，
解得：r₃=2，∴P₃（-2，2）；
④∵，
∴，
解得：r₄=6，∴P₄（6，6）．
分析：（1）本题需先根据题意求出y=x与在第一象限的交点坐标即可．
（2）本题需先根据已知条件，分别写出二次函数的解析式即可．
（3）根据图形可知，x=0时，y=3；y=0时，x=4，得出OA、OB、AB的值，再分四种情况进行讨论，分别得出所求的结果．
点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意二次函数和圆的有关知识的联系．