题目内容

若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与x轴、y轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．
（1）如图1，求y=
(
2
+1)2
x
的伴圆的圆心P的坐标及半径r；
（2）如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数y=ax2+bx+c的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；
（3）如图3，求一次函数y=-
3
4
x+3的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．
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分析：（1）本题需先根据题意求出y=x与y=
(
2
+1)2
x
在第一象限的交点坐标Q(
2
+1，
2
+1)即可．
（2）本题需先根据已知条件，分别写出二次函数的解析式即可．
（3）根据图形可知，x=0时，y=3；y=0时，x=4，得出OA、OB、AB的值，再分四种情况进行讨论，分别得出所求的结果．
解答：解：（1）在一、三象限内，到x轴、y轴距离相等的点在y=x上，y=x与y=
(
2
+1)2
x
在第一象限的交点坐标Q(
2
+1，
2
+1)．
∴r+
2
r=
2
(
2
+1)，解得：r=
2
，P(
2
，
2
)，
同理伴圆在第三象限时，P(-
2
，-
2
)；

（2）y=-（x-1）2，y=（x-1）2+2的伴圆均为⊙P，
y=a（x-1）2，（a＜0）；
y=a（x-1）2+2，（a＞0）的伴圆也都是⊙P；

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∵x=0时，y=3；y=0时，x=4，
∴OA=3，OB=4，AB=5．
①∵S△P1OA+S△P1OB+S△P1AB=S△OAB，
∴
1
2
r1(3+4+5)=
1
2
×3×4，
解得：r1=1，∴P1（1，1）；
②∵S△P2OA-S△P2OB+S△P2AB=S△OAB，
∴
1
2
r2(3-4+5)=
1
2
×3×4，
解得：r2=3，∴P2（3，-3）；
③∵-S△P3OA+S△P3OB+S△P3AB=S△OAB，
∴
1
2
r3(-3+4+5)=
1
2
×3×4，
解得：r3=2，∴P3（-2，2）；
④∵S△P4OA+S△P4OB-S△P4AB=S△OAB，
∴
1
2
r4(3+4-5)=
1
2
×3×4，
解得：r4=6，∴P4（6，6）．
点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意二次函数和圆的有关知识的联系．
练习册系列答案
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若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与轴、轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．

1.如图1，求的伴圆的圆心P的坐标及半径r；

2.如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；

3.如图3，求一次函数的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．

 
若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与轴、轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．
【小题1】如图1，求的伴圆的圆心P的坐标及半径r；
【小题2】如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；
【小题3】如图3，求一次函数的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．

若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与轴、轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．
【小题1】如图1，求的伴圆的圆心P的坐标及半径r；
【小题2】如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；
【小题3】如图3，求一次函数的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．

若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与轴、轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．

1.如图1，求的伴圆的圆心P的坐标及半径r；

2.如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；

3.如图3，求一次函数的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．

 

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