Question

如图，已知矩形ABCD的对角线长为5，周长为14，AD＞AB．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求tan∠ADB的值．

Answer 1

分析：（1）设出两邻边，根据对角线的长利用勾股定理列出一个等式，再根据周长列出一个等式，联立组成方程组求解，再代入面积公式求解即可；
（2）根据正切定义，用∠ADB对边AB比邻边AD即可得到∠ADB的正切值．

解答：解：（1）【方法一】设AB=x，AD=y，依题意，
得

x2+y2=25 2(x+y)=14

解得

x=4 y=3

或

x=3 y=4

（5分）
∵AD＞AB，∴AB=3，AD=4．
∴矩形ABCD的面积=4×3=12．（6分）
（2）在Rt△ABD中，tan∠ADB=

AB

AD

=

3

4

．（8分）

【方法二】设AB=x，AD=y，依题意得

x2+y2=25 2(x+y)=14

（3分）
由方程组第一个方程得（x+y）²-2xy=25 ③
把x+y=7代入③得xy=12
所以矩形ABCD的面积为12．（5分）

（2）解方程组

xy=12 x+y=7

得

x=3 y=4

或

x=4 y=3

（6分）
∵AD＞AB，
∴AB=3，AD=4，（7分）
在Rt△ABD中，tan∠ADB=

AB

AD

=

3

4

．（8分）

点评：根据条件列出方程组是解本题的关键，要注意条件AD＞AB．