Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点M沿AB方向从A向B以2cm/秒的速度移动，点N从D沿DA方向以1cm/秒的速度移动，如果M、N两点同时出发，移动的时间为x秒（0≤x≤6）．
（1）当x为何值时，△MAN为等腰直角三角形？
（2）当x为何值时，有△MAN∽△ABC？
（3）爱动脑筋的小红同学在完成了以上联系后，对该问题作了深入的研究，她认为：在M、N的移动过程中（N不与D、A重合，M不与A、B重合），以A、M、C、N为顶点的四边形面积是一个常数．她的这种想法对吗？请说出理由．

Answer 1

分析：（1）设x秒时，△MAN为等腰直角三角形，则AM=AN，根据已知分别表示出AM，AN的长，根据得出的等量关系列方程即可求得时间．
（2）根据相似三角形的对应边成比例列方程，即可求得时间．
（3）分别求得四边形AMCN的面积及矩形的面积，根据其面积发现其中的规律即可．

解答：解：（1）依题意，x秒时，△MAN为等腰直角三角形
∴AM=2x（cm），AN=6-x（cm）
∴2x=6-x
∴x=2
∴x=2时，△MAN为等腰直角三角形．

（2）∵当△MAN∽△ABC时，

AM

AB

=

AN

BC

∴

2x

12

=

6-x

6

∴x=3
∴当x=3时，△MAN∽△ABC．

（3）她的说法正确；连接CN，CM，
∵S_{四边形AMCN}=S_△ACN+S_△ACM=

1

2

•2x•6+

1

2

（6-x）•12=6x+36-6x=36（cm²）
S_矩形ABCD=12×6=72（cm²）
∴S_{四边形AMCN}=

1

2

S_矩形ABCD，是一个常数．

点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定及相似的三角形的判定及性质的综合运用能力．