Question

如图，已知矩形DEFG内接于Rt△ABC，D在AB上，E、F在BC上，G在AC上，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，S矩形DEFG=

45

4

，则矩形的边长DG=

 

．

Answer 1

分析：作辅助线，作AM⊥BC于M，交DG于N，根据△ADG∽△ABC得出对应边成比例，再设DE=x，根据矩形面积得DG，又因为∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，求得AM，再将①式化简即可．

解答：解：如图，作AM⊥BC于M，交DG于N，
在矩形DEFG中，DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

AN

AM

=

DG

BC

①，
设DE=x，
∵S矩DEFG=DE•DG=

45

4

，
∴DG=

45

4x

cm，
又∵∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴BC=

AB2+AC2

=10cm，
∵S△ABC=

1

2

BC•AM=

1

2

AB•AC，
∴AM=

AB•AC

BC

=

24

5

，
AN=AM-x=

24

5

-x，
∴①式可化为

24 5 -x

24 5

=

45 4x

10

，
∴5x²-24x+27=0，解得x1=3，x2=1

4

5

，
∴DE长为3cm或1

4

5

cm，
当DE=3cm时，DG=3

3

4

cm，
当DG=

9

5

cm时，DG=6

1

4

cm．
故答案为：3

3

4

或6

1

4

cm．

点评：此题涉及到的知识点较多，有相似三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积．勾股定理，矩形的性质等，综合性较强，有一定的难度，是一道难题．