Question

5．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=4$\sqrt{3}$．点D在边AC上，且AD=BD，∠DBC=30°．求：
（1）CD及AD的长度；
（2）∠BAC及∠DBA的度数．

Answer 1

分析 （1）由含30°角的直角三角形的性质得出CD=$\frac{1}{2}$BD，∠BDC=60°，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠BAC=∠DBA=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，设CD=x，则AD=BD=2x，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）由（1）得出∠BAC=∠DBA=30°．

解答 解：（1）∵∠DBC=30°，∠C=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BD，∠BDC=60°，
∵AD=BD，
∴∠BAC=∠DBA，
∵∠BAC+∠DBA=∠BDC=60°，
∴∠BAC=∠DBA=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
设CD=x，则AD=BD=2x，
由勾股定理得：BC²+CD²=BD²，
即（2$\sqrt{3}$）²+x²=（2x）²，
解得：x=2，
∴CD=2，AD=BD=2CD=4；
（2）由（1）得：∠BAC=∠DBA=30°．

点评 本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，由勾股定理得出方程是解决（1）的关键．