Question

8．某厂家计划生产甲、乙两种产品共20件，两种产品的生产成本是生产数量的一次函数，如表提供了部分生产数据，设甲产品的生产数量为x件，

生产数量（件）	1	2	…
甲产品单价（元/件）	27	24	…
乙产品单价（元/件）	58	56	…

（1）若甲产品的生产成本为y₁（元/件），求y₁与x的关系式；
（2）若生产甲产品的数量不少于乙产品数量的$\frac{2}{3}$，乙产品的生产成本不高于40元，求该厂家有几种生产方案？
（3）若该厂家分别以80元/件和70元/件的出厂价销售甲、乙两种产品，且全部销售完，总利润可能达到1100元吗？如果能，请求出生产方案；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据给定数据利用待定系数法即可求出y₁与x的关系式；
（2）设乙产品的生产成本为y₂（元/件），乙产品的生产数量为（20-x）件，根据给定数据利用待定系数法即可求出y₂与x的关系式，再根据生产甲产品的数量不少于乙产品数量的$\frac{2}{3}$以及乙产品的生产成本不高于40元，即可得出关于x一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，由此即可找出厂家的生产方案；
（3）设总利润为w，根据总利润=甲产品单件利润×生产数量+乙产品单件利润×生产数量即可得出w关于x的关系式，令w≥1100即可得出关于x的一元二次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合（2）的结论即可找出厂家的生产方案．

解答 解：（1）设y₁与x的关系式为y₁=kx+b（k≠0），
将（1，27）、（2，24）代入y₁=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=27}\\{2k+b=24}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=30}\end{array}\right.$，
∴y₁与x的关系式为y₁=-3x+30．
（2）设乙产品的生产成本为y₂（元/件），乙产品的生产数量为（20-x）件，
利用待定系数法即可得出y₂=-2（20-x）+60=2x+20．
∵生产甲产品的数量不少于乙产品数量的$\frac{2}{3}$，乙产品的生产成本不高于40元，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+20≤40}\\{x≥\frac{2}{3}（20-x）}\end{array}\right.$，
解得：8≤x≤10．
∴该厂有三种生产方案．方案一：生产8件甲产品，生产12件乙产品；方案二：生产9件甲产品，生产11件乙产品；方案三：生产10件甲产品，生产10件乙产品．
（3）设总利润为w，根据题意得：w=[80-（-3x+30）]x+[70-（2x+20）]（20-x）=5x²-40x+1000，
令w=5x²-40x+1000≥1100，
解得：x≤-2或x≥10．
结合（2）可知x=10．
∴当生产10件甲产品，生产10件乙产品时，总利润为1100元．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式组的应用以及解一元二次不等式，解题的关键是：（1）根据给定数据利用待定系数法求出函数关系式；（2）根据数量关系找出关于x的一元一次不等式组；（3）根据数量关系找出关于x的一元二次不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该体系题目时，找准数量关系是解题的突破点．