Question

【题目】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B，C的坐标分别为（4，0）和（0，4），抛物线的对称轴为x＝1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．

（1）求抛物线和直线AD的解析式；

（2）如图Ⅰ，点Q是线段AB上一动点，过点Q作QE∥AD，交BD于点E，连接DQ，求△QED面积的最大值；

（3）如图Ⅱ，直线AD交y轴于点F，点M，N分别是抛物线对称轴和抛物线上的点，若以C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4，y＝x+2；（2）△QED面积的最大值是3；（3）点M的坐标为（1，）或（1，）或（1，）．

【解析】

（1）待定系数法得到抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；直线AD的解析式为y＝x+2；

（2）如图1，作EG⊥x轴，设Q（m，0），根据相似三角形的性质得到EG＝，

∴S△QDE＝S△BDQ﹣S△BEQ＝×（4﹣m）×4﹣（4﹣m）×＝﹣m2+m+，根据二次函数的性质可求△QED面积的最大值；

（3）分两种情况讨论①如图2，若CF为平行四边形的一边，则点N于抛物线的顶点重合，于是可求点M的坐标；

②如图3，若CF为平行四边形的一条对角线，则CF与MN互相平分，过点M，N分别向x轴作垂线，垂足分别为H，K，MN与HK交于点P，求出点P、N的坐标后可求点M的坐标.

解：（1）根据题意得，

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；

∵B（4，0），对称轴为x＝1，

∴A（﹣2，0），

∵D（2，m）在抛物线的解析式y＝﹣x2+x+4上，

∴点D的坐标是D（2，4），

设直线AD的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直线AD的解析式为y＝x+2；

（2）如图1，作EG⊥x轴，设Q（m，0），

∵QE∥AD，

∴△BEQ∽△BDA，

∴，

即，

解得：EG＝，

∴S△BEQ＝×（4﹣m）×，

∴S△QDE＝S△BDQ﹣S△BEQ＝×（4﹣m）×4﹣（4﹣m）×＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣1）2+3，

∴当m=1时，△QED面积取得最大值等于3；

（3）∵直线AD交y轴于点F，

∴F（0，2），

∵抛物线的解析式是y＝﹣x2+x+4上，

∵抛物线的顶点坐标（1，），

①如图2，若CF为平行四边形的一边，则点N于抛物线的顶点重合，此时，MN＝CF＝2，

∴点M的坐标（1，），（1，）；

②如图3，若CF为平行四边形的一条对角线，则CF与MN互相平分，

过点M，N分别向x轴作垂线，垂足分别为H，K，MN与HK交于点P，

易得△MHP≌△NKP，P（0，3）

∴点M，N的横坐标分别是1，﹣1，

∴N（﹣1，），

∴PK＝3-=＝HP，

∴HO＝3+=，

∴M（1，），

综上所述，点M的坐标为：（1，）或（1，）或（1，）．