Question

设关于x的方程2x²+ax+2=0的两根为α，β，且α²+β²=

1

α

+

1

β

，则α=

-4

．

Answer 1

分析：先根据根与系数的关系得到α+β=-

a

2

，αβ=1，再变形α²+β²=

1

α

+

1

β

得（α+β）²-2αβ=

α+β

αβ

，则

a2

4

-2=-

a

2

，解方程得a₁=-4，a₂=-2，然后根据根的判别式确定a的值．

解答：解：根据题意得α+β=-

a

2

，αβ=1，
∵α²+β²=

1

α

+

1

β

，
∴（α+β）²-2αβ=

α+β

αβ

，
∴

a2

4

-2=-

a

2

，
解得a₁=-4，a₂=2，
∵△=a²-4×2×2≥0，
∴a=-4．
故答案为-4．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．