Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠CBA=30°，BC=20

3

．
（1）求AB的长．
（2）一个圆心在A点，半径为6的圆以2个单位长度每秒的速度向右运动，在运动过程中，圆心始终都在直线AB上，问运动多少秒时，圆与△ABC的一边所在的直线相切？

Answer 1

考点：切线的性质

专题：分类讨论

分析：（1）根据含30度的直角三角形三边的关系易求得AB=40；
（2）如图，当圆心运动点D时与直线AC相切于点P，圆心运动点E时与直线BC相切于点M，圆心运动点F时与直线BC相切于点N，连结DP，EM，FN，根据切线的性质得DP⊥AC，EM⊥BC，FN⊥BC，DP=EM=FN=6，在Rt△ADP中根据含30度的直角三角形三边的关系可求出PA=

3

3

PD=2

3

，则AD=2PA=4

3

，然后计算圆运动的时间；在Rt△EBM中易得EB=2EM=12，则AE=AB-EB=28，于是可计算圆运动的时间；在Rt△EBM中，由于∠FBN=∠ABC=30°，则易得BF=2FN=12，所以AF=AB+FB=52，然后计算圆运动的时间．

解答：解：（1）∵∠C=90°，∠CBA=30°，
∴AC=

3

3

BC=20，
∴AB=2BC=40；
（2）如图，当圆心运动点D时与直线AC相切于点P，圆心运动点E时与直线BC相切于点M，圆心运动点F时与直线BC相切于点N，
连结DP，EM，FN，则DP⊥AC，EM⊥BC，FN⊥BC，DP=EM=FN=6，
在Rt△ADP中，∵∠PAD=60°，
∴∠ADP=30°，
∴PA=

3

3

PD=

3

3

•6=2

3

，
∴AD=2PA=4

3

，
∴圆运动的时间=

4 3

2

=2

3

（秒）；
在Rt△EBM中，∵∠EBM=30°，
∴EB=2EM=12，
∴AE=AB-EB=28，
∴圆运动的时间=

28

2

=14（秒）；
在Rt△EBM中，∵∠FBN=∠ABC=30°，
∴BF=2FN=12，
∴AF=AB+FB=52，
∴圆运动的时间=

52

2

=26（秒），
综上所述，运动2

3

秒或14秒或26秒时，圆与△ABC的一边所在的直线相切．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．