Question

5．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系是FG=CE，位置关系是FG∥CE；
（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

Answer 1

分析 （1）只要证明四边形CEGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；
（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；
（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．

解答 解：（1）FG=CE，FG∥CE；

（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H，
∵EG⊥DE，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE，
在△HGE与△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GHE=∠DCE}\\{∠HGE=∠DEC}\\{EG=DE}\end{array}\right.$，
∴△HGE≌△CED（AAS），
∴GH=CE，HE=CD，
∵CE=BF，
∴GH=BF，
∵GH∥BF，
∴四边形GHBF是矩形，
∴GF=BH，FG∥CH
∴FG∥CE
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴HE=BC
∴HE+EB=BC+EB
∴BH=EC
∴FG=EC

（3）成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，
在△CBF与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{∠FBC=∠ECD}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，
∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四边形CEGF平行四边形，
∴FG∥CE，FG=CE．

点评 本题三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形．