Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．
求证：四边形ADCF是菱形．

Answer 1

分析 先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明△AED≌△ABD，推出DF⊥AC，由此即可证明．

解答 证明：∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在△AFE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠CDE}\\{∠AEF=∠CED}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CED．
AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
由题意知，AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD，
∴△AED≌△ABD．
∴∠AED=∠B=90°，即DF⊥AC．
∴四边形ADCF是菱形．

点评 本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．