Question

11．如图，C是线段AB的黄金分割点，BC＞AC，D，E分别是AC，BC的中点．
（1）C是线段DE的黄金分割点吗？请说明理由；
（2）若线段AB的长为100cm，请你求出线段DC的长．

Answer 1

分析 （1）根据黄金分割的概念和中点的性质列式可得答案；
（2）根据黄金比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$进行计算即可求出答案．

解答 解：（1）∵C是线段AB的黄金分割点，
∴BC²=AC•AB，
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，CE=$\frac{1}{2}$BC，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴CE²=DC•DE，
∴C是线段DE的黄金分割点；
（2）∵BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=50（$\sqrt{5}$-1），
∴AC=100-50（$\sqrt{5}$-1）=150-50$\sqrt{5}$，
∵D是AC的中点，
∴DC=75-25$\sqrt{5}$cm．

点评 本题考查了黄金分割的概念和，应用掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫做黄金比是解题的关键．