Question

13．若y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x-\frac{1}{2}}$的最大值为a，最小值为b，则a²+b²的值为（　　）

• A． 1
• B． 1.5
• C． 2
• D． 2.5

Answer 1

分析 首先根据二次根式有意义得1-x≥0，且x-$\frac{1}{2}$≥0，从而得到$\frac{1}{2}$≤x≤1．然后等式两边分别平方后得到y²=$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{-（x-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{16}}$，得到当x=$\frac{3}{4}$时，y²取到最大值1，故a=1．当x=$\frac{1}{2}$或1时，y²取到最小值$\frac{1}{2}$，故b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而求得代数式的值．

解答 解：由1-x≥0，且x-$\frac{1}{2}$≥0，得$\frac{1}{2}$≤x≤1．
y2=$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{-（x-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{16}}$．
由于$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{4}$＜1，
所以当x=$\frac{3}{4}$时，y²取到最大值1，故a=1．
当x=$\frac{1}{2}$或1时，y²取到最小值$\frac{1}{2}$，故b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以：a²+b²=$\frac{3}{2}$=1.5．
故选B．

点评 本题考查了无理函数的最值，特别是确定自变量的取值范围是解答本题的关键，将题目中的等式两边平方是解决无理函数的一种重要方法，难度偏大．