题目内容
【操作发现】如图，现有1×1，1×a，1×b，a×b的矩形卡片各一张，请你在下面的方框内将它们拼成一个大的矩形（要求：画出分割线，并标注必要的线段长）．观察操作前后的面积可以得到一个等式，这个等式是什么？
【应用探究】对于一个正整数n，若能找到正整数a，b，使得n=a+b+ab，则称n为一个“妙数”．例如3=1+1+1×1，则3就是一个“妙数”．根据“妙数”的规定，解决下列问题：
（1）5是不是一个“妙数”？为什么？
（2）从1到10这10个正整数中“妙数”有多少个．
【活动拓展】在一次数学活动课上，黑板上写有1，
，
，
，…，
共50个数字．李老师要求同学们进行以下操作：每次操作先从黑板上的数中任选取2个数a、b，然后删去这两个数a和b，同时在黑板上写出与a+b+ab的值相等的数．试求经过49次操作后黑板上剩下的数．
【应用探究】对于一个正整数n，若能找到正整数a，b，使得n=a+b+ab，则称n为一个“妙数”．例如3=1+1+1×1，则3就是一个“妙数”．根据“妙数”的规定，解决下列问题：
（1）5是不是一个“妙数”？为什么？
（2）从1到10这10个正整数中“妙数”有多少个．
【活动拓展】在一次数学活动课上，黑板上写有1，
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考点：作图—应用与设计作图,因式分解的应用
专题：
分析：【操作发现】利用图形面积写出等式即可；
【应用探究】（1）将5分解为1+2+1×2，即可得出答案；
（2）由n=a+b+ab，可变形为n+1=（a+1）（b+1），所以，只要n+1是合数，n就是秒数；
【活动拓展】设经过49次操作后，黑板上剩下的数为x，则：x+1=（1+1）×（
+1）×（
+1）×（
+1）…（
+1）进而求出x的值即可．
【应用探究】（1）将5分解为1+2+1×2，即可得出答案；
（2）由n=a+b+ab，可变形为n+1=（a+1）（b+1），所以，只要n+1是合数，n就是秒数；
【活动拓展】设经过49次操作后，黑板上剩下的数为x，则：x+1=（1+1）×（
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解答：
解：【操作发现】
（1）图形不唯一，如图：
a+b+ab+1=（a+1）（b-1）；
【应用探究】
（1）5是一个“妙数”，理由：5=1+2+1×2；
（2）从1到10这10个正整数中“秒数”有3、5、7、8、9共5个；
【活动拓展】
∵a+b+ab+1=（a+1）（b+1），
∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数的乘积不变，
设经过49次操作后，黑板上剩下的数为x，则：
x+1=（1+1）×（
+1）×（
+1）×（
+1）…（
+1），
解得：x+1=51，x=50，
∴经过49次操作后黑板上剩下的数是50．
解：【操作发现】（1）图形不唯一，如图：
a+b+ab+1=（a+1）（b-1）；
【应用探究】
（1）5是一个“妙数”，理由：5=1+2+1×2；
（2）从1到10这10个正整数中“秒数”有3、5、7、8、9共5个；
【活动拓展】
∵a+b+ab+1=（a+1）（b+1），
∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数的乘积不变，
设经过49次操作后，黑板上剩下的数为x，则：
x+1=（1+1）×（
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解得：x+1=51，x=50，
∴经过49次操作后黑板上剩下的数是50．
点评：此题主要考查了应用设计与作图，由原式变形，可得出n+1数的性质，利用n与n+1的关系，可解答本题．
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